C¡c h m Nevanlinna-Cartan cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh- 123docz.net

Nevanlinna-Cartan cho c¡c ÷íng cong ch¿nh h¼nh

2.1 C¡c h m Nevanlinna-Cartan cho ÷íng cong ch¿nh h¼nh

cong ch¿nh h¼nh

2.1 C¡c h m Nevanlinna-Cartan cho ÷íng congch¿nh h¼nh ch¿nh h¼nh

Chóng tæi s³ nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m, k½ hi»u chu©n cõa Lþ thuy¸t Nevanlinna - Cartan cho c¡c ÷íng cong ch¿nh h¼nh tø C v o

Pn(C).

2.1.1 ành ngh¾a. nh x¤ f := (f0 : ...: fn) : C → Pn(C) ÷ñc gåi l ÷íng cong ch¿nh h¼nh tr¶n C n¸u f0, ..., fn l c¡c h m nguy¶n tr¶n C.

Ta câ thº vi¸t f = (fe0 : fe1 : · · · : fen) trong â fei l c¡c h m nguy¶n khæng câ khæng iºm chung tr¶n C. Khi â fe= (fe0,fe1, . . . ,fen) ÷ñc gåi l biºu di¹n rót gån cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nh f.

Gi£ sû D l mët si¶u m°t trong Pn(C) câ bªc d. Gi£ sû Q l a thùc thu¦n nh§t n+ 1 bi¸n vîi c¡c h» sè trong C câ bªc d x¡c ành si¶u m°t D.

Gåi n(r, D, f) l sè c¡c khæng iºm cõa h m Q ◦ fe trong ¾a |z| < r, nM(r, D, f) l sè c¡c khæng iºm cõa h m Q◦fetrong ¾a |z| < r bëi ch°n bði mët sè nguy¶n d÷ìng M.

2.1.2 ành ngh¾a. H m Nf(r, D) = r Z 0 (nf(t, D)−nf(0, D)) dt t +nf(0, D) logr

÷ñc gåi l h m ¸m cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nh f ùng vîi si¶u m°t

D. H m NfM(r, D) = r Z 0 nMf (t, D)−nMf (0, D) dt t +n M f (0, D) logr

÷ñc gåi l h m ¸m cöt cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nh f ùng vîi si¶u m°t D.

2.1.3 ành ngh¾a. H m x§p x¿ cõa h m f ùng vîi si¶u m°t D ÷ñc ành ngh¾a bði m(r, D, f) = 2π Z 0 log kfe(reiθ)kd Q(fe)(reiθ) dθ 2π. 2.1.4 ành ngh¾a. Gi£ sû f := (f0 : ... : fn) : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. H m °c tr÷ng Nevanlinna - Cartan T(r, f) cõa

h m f ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau T(r, f) = 1 2π 2π Z 0 log fe(reiθ) dθ, trong â kf(z)k = max{|f0(z)|, ...,|fn(z)|}.

Chó þ r¬ng c¡c h m m(r, D, f), T(r, f) ëc lªp vîi vi»c chån biºu di¹n cõa ÷íng cong ch¿nh h¼nh f, sai kh¡c mët h¬ng sè.

2.1.5 ành ngh¾a. Hå c¡c si¶u ph¯ng Hj, j = 1, ..., q trong khæng gian x¤ £nh n chi·u ÷ñc gåi l ð và tr½ têng qu¡t èi vîi Pn(C) n¸u

q > n v (n+ 1) si¶u ph¯ng b§t ký trong chóng ·u ëc lªp tuy¸n t½nh.

Têng qu¡t hìn, ta câ kh¡i ni»m v· hå c¡c si¶u m°t ð và tr½ têng qu¡t èi vîi Pn(C) nh÷ sau:

Gi£ sû D1, ..., Dq l c¡c si¶u m°t trong Pn(C), gåi Qj l c¡c a thùc thu¦n nh§t ành ngh¾a Dj t÷ìng ùng.

2.1.6 ành ngh¾a. C¡c si¶u m°t D1, ..., Dq, q ≥ n+ 1 ÷ñc gåi l ð và tr½ têng qu¡t trong Pn(C) n¸u vîi méi bë n+ 1 ch¿ sè ph¥n bi»t

i1, ..., in+1 ∈ {1, ..., q}, ta câ

{x ∈ Pn(C) : Qij(x) = 0, j = 1, ..., n} = ∅.

2.1.7 Chó þ. C¡c si¶u m°t D1, ..., Dq, (q > n) ð và tr½ têng qu¡t èi vîi Pn(C) n¸u n+ 1 si¶u m°t b§t ký trong chóng ·u câ giao b¬ng réng.

2.1.8 ành lþ (ành lþ cì b£n thù nh§t). Gi£ sû f :C →Pn(C)

l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh v D l mët si¶u m°t bªc d trong Pn(C). N¸u f(C) * D th¼ vîi méi sè thüc r vîi 0 < r < ∞, ta câ

m(r, D, f) + N(r, D, f) = dT(r, f) + O(1),

trong â O(1) l mët h¬ng sè ëc lªp vîi r.

2.2 ành lþ cì b£n thù hai cho ÷íng cong ch¿nhh¼nh ct c¡c si¶u m°t h¼nh ct c¡c si¶u m°t

2.2.1 Mët sè bê · quan trång

Ti¸p theo, chóng tæi tr¼nh b y mët sè bê · ¤i sè ÷ñc sû döng trong c¡c chùng minh cõa ành lþ cì b£n thù hai kiºu Cartan cho c¡c ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh.

2.2.1 ành ngh¾a. Chóng ta ành ngh¾a thù tü tø iºn cho m-bë

(i) = (i1, ..., im) ∈ Nm cõa c¡c sè nguy¶n. Ngh¾a l , (j1, ..., jm) >

(i1, ..., im) n¸u v ch¿ n¸u tçn t¤i b ∈ {1, ..., m} ta câ jl = il vîi måi

l < b v jb > ib.

Vîi n bë (i) = (i1, ..., in) c¡c sè nguy¶n khæng ¥m, ta k½ hi»u

σ(i) := X

ij.

Vîi mët sè nguy¶n d÷ìng lîn N, ta k½ hi»u VN l khæng gian c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc N trong C[x0, ..., xn].

2.2.2 Bê · (Xem Bê · 2.3 [6]). Gi£ sû r1, ..., rn l c¡c a thùc thu¦n nh§t trong C[x0, ..., xn] v gi£ sû r¬ng chóng ành ngh¾a mët a t¤p con trong Pn(C) câ sè chi·u b¬ng 0. Khi â vîi mët sè nguy¶n d÷ìng N õ lîn, ta câ

dim VN

(r1, ..., rn)∩VN

= degr1...degrn.

Gi£ sû r1, ..., rn ∈ {Q1, ..., Qq} l c¡c a thùc thu¦n nh§t bªc d, sao cho chóng ành ngh¾a mët a t¤p con trong Pn(C) câ sè chi·u b¬ng 0. Ta x¥y düng mët c¡i låc cõa VN nh÷ sau: sp x¸p l¤i theo trªt tü tø iºn n bë (i) = (i1, ..., in) c¡c sè nguy¶n khæng ¥m sao cho

σ(i) ≤ N

d. ành ngh¾a khæng gian W(i) = WN,(i) bði

W(i) = P (e)≥(i)

re1

1 ...rnenVN−dσ(e).

Hiºn nhi¶n, W(0,...,0) = VN v W(i) ⊃ W(i0) n¸u (i0) > (i). Nh÷ vªy

W(i) l mët c¡i låc cõa VN.

Chóng ta ti¸p töc nghi¶n cùu c¡c khæng gian th÷ìng cõa hai khæng gian li¶n ti¸p trong låc. Gi£ sû r¬ng (i0) ùng ngay sau (i) theo thù tü tø iºn trong låc vøa x¥y düng ð tr¶n. Khi â ta câ bê · sau ¥y.

2.2.3 Bê ·. Tçn t¤i mët ¯ng c§u

W(i) W(i0)

∼= VN−dσ(i)

(r1, ..., rn)∩ VN−dσ(i).

Ngo i ra chóng ta câ thº chån ÷ñc mët cì sð cõa W(i)

W(i0)

tø tªp hñp cõa t§t c£ c¡c lîp t÷ìng ÷ìng câ d¤ng ri1

1 ...rninη modulo W(i0) vîi η

Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta x¡c ành mët çng c§u giúa c¡c khæng gian v²c tì

φ : VN−dσ(i) → W(i)

W(i0

)

nh÷ sau: vîi mët a thùc η trong VN−dσ(i), ta ành ngh¾a φ(η) l lîp t÷ìng ÷ìng cõa r1...rnη (thuëc W(i)) modulo W(i0). Theo ành ngh¾a cõa khæng gian VN−dσ(i), çng c§u tr¶n l mët to n ¡nh. º k¸t thóc ta ch¿ c¦n chùng minh

kerφ = (r1, ..., rn)∩VN−dσ(i).

Tø c§u tróc cõa çng c§u φ ta câ thº chån ÷ñc mët cì sð cõa W(i)

W(i0) tø tªp t§t c£ c¡c lîp t÷ìng ÷ìng câ d¤ng r1...rnη module W(i0) vîi

η l mët ìn thùc trong x0, ..., xn vîi bªc têng cëng b¬ng N −dσ(i)

l mët cì sð cõa VN−dσ(i) ta câ i·u c¦n chùng minh.

B¥y gií chóng ta ti¸p töc sû döng bê · tr¶n º ¡nh gi¡ sè chi·u cõa khæng gian th÷ìng cõa hai khæng gian li¶n ti¸p trong låc.

Ta k½ hi»u sè chi·u â l δ(i).

K¸t hñp Bê · 2.2.2 v 2.2.3 ta câ bê · sau

2.2.4 Bê ·. Tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng N0 ch¿ phö thuëc v o

r1, ..., rn sao cho

δ(i) := dim W(i)

W(i0)

= dn,

vîi i·u ki»n dσ(i) < N −N0. Hìn núa, vîi c¡c bë (i) cán l¤i ta câ

dim W(i)

2.2.5 Bê ·. Vîi δ(i) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ trong Bê · 2.2.4. Ta câ θ := X (i) δ(i)ij ≥ N n+1 d(n+ 1)!, trong â têng P (i) ÷ñc l§y tr¶n t§t c£ (n+ 1) bë sè nguy¶n khæng ¥m vîi têng óng b¬ng N/d.

Chùng minh. K¸t hñp vîi Bê · 2.2.4 ta câ, X (i) δ(i)ij = d n n+ 1 X (i) n+1 X j=1 ij = d n n+ 1 X (i) N d = d n n+ 1 X (i) N d = dn n+ 1   N/d+n n   N d = N(N +d) +...+ (N +nd) (n+ 1)!d ≥ N n+1 d(n+ 1)!

Ta câ i·u c¦n chùng minh.

2.2.2 ành lþ cì b£n thù hai cho c¡c ÷íng cong ch¿nh h¼nh

Mët sè ph¡t biºu cõa ành lþ cì b£n thù hai. Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i ành lþ cõa Cartan nh÷ sau.

2.2.6 ành lþ. Gi£ sû f : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh v Hj, 1 ≤ j ≤ q, l q si¶u ph¯ng trong

Pn(C) ð và tr½ têng qu¡t. Khi â vîi méi ε > 0 ta câ

j=1

trong â b§t ¯ng thùc óng vîi måi r > 0 n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n.

ành lþ tr¶n ¢ ÷ñc ph¡t biºu l¤i d÷îi d¤ng kh¡c bði M. Ru trong [13].

2.2.7 ành lþ. Gi£ sû f = (f0 : ... : fn) : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh m £nh cõa nâ khæng bà chùa trong b§t kº mët khæng gian con tuy¸n t½nh n o. Gåi H1, ..., Hq l c¡c si¶u ph¯ng ph¥n bi»t trong Pn(C), Lj, 1 ≤ j ≤ q, l c¡c d¤ng tuy¸n t½nh ành ngh¾a

H1, ..., Hq. K½ hi»u W(f0, ..., fn) l Wronskian cõa f0, ..., fn. Khi â vîi méi ε > 0 2π Z 0 max K logY j∈K f(reiθ)kLjk |Lj(f)(reiθ)| dθ 2π+NW(r,0)≤ (n+1+)T(r, f)+o(T(r, f)),

trong â têng tr¶n l§y tr¶n t§t c£ c¡c tªp con K cõa 1, ..., q sao cho c¡c d¤ng tuy¸n t½nh Lj, j ∈ K, l ëc lªp tuy¸n t½nh, kf(z)k l gi¡ trà lîn nh§t cõa |fj(z)|, 0 ≤ j ≤ n v kLjk l gi¡ trà lîn nh§t cõa gi¡ trà tuy»t èi cõa c¡c h» sè trong Lj.

N«m 2004, M. Ru ¢ chùng minh ÷ñc ành lþ cä b£n thù hai ct c¡c si¶u m°t ð và tr½ têng qu¡t. ành lþ n y ¢ gi£i quy¸t trån vµn gi£ thuy¸t cõa Shiffman [14].

2.2.8 ành lþ. Gi£ sû f : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n ¤i sè v Dj, 1 ≤ j ≤q l q si¶u m°t trong Pn(C) câ bªc dj t÷ìng ùng, ð và tr½ têng qu¡t. Khi â vîi méi ε > 0, ta câ

j=1

trong â b§t ¯ng thùc óng vîi måi r > 0 n¬m ngo i mët tªp E câ ë o Lebesgue húu h¤n.

ành lþ cõa M. Ru ch÷a t½nh ¸n y¸u tè bëi cõa khæng iºm. Ti¸p theo ta s³ tr¼nh b y chùng minh cõa mët d¤ng ành lþ cì b£n thù hai câ li¶n quan ¸n h m ¸m cöt.

ành lþ cõa Q. Yan v Z. Chen.

2.2.9 ành lþ. Gi£ sû f : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n ¤i sè v Dj, 1 ≤ j ≤q l q si¶u m°t trong Pn(C) câ bªc dj t÷ìng ùng, ð và tr½ têng qu¡t. Khi â vîi méi ε > 0, tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng M sao cho

(q −(n+ 1)−ε)T(r, f) ≤

j=1

d−j1NM(r, Dj, f) +o(T(r, f)),

trong â b§t ¯ng thùc tr¶n óng vîi måi r õ lîn n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n.

Tr÷îc khi chùng minh ành lþ, chóng ta c¦n chùng minh c¡c bê · sau.

2.2.10 Bê ·. Gi£ sû f : C → Pn(C) l mët ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh khæng suy bi¸n ¤i sè v Dj, 1 ≤ j ≤q l q si¶u m°t trong Pn(C) câ bªc nh÷ nhau l d , ð và tr½ têng qu¡t. Khi â

q X j=1 m(r, Qj, f) ≤ max i1,...,in n Y k=1 log kf(z)kd |Qik ◦f(z)| +O(1).

Chùng minh. Gi£ sû Q1, ..., Qq l c¡c a thùc thu¦n nh§t (n+1) bi¸n vîi c¡c h» sè trong C câ bªc nh÷ nhau l d, ành ngh¾a c¡c si¶u m°t

D1, ..., Dq. L§y z ∈ C b§t k¼, khi â tçn t¤i mët c¡ch sp x¸p c¡c ch¿ sè i1, ..., iq cõa c¡c ch¿ sè 1, ..., q sao cho

|Qi1 ◦f(z)| ≤ |Qi2 ◦f(z)| ≤ ... ≤Qiq ◦f(z). (2.1) Do Qj, 1 ≤ j ≤ n ð và tr½ têng qu¡t n¶n theo ành lþ Hilbert's Nullstelensatz, ta câ: vîi méi sè nguy¶n k, 0 ≤ k ≤ n, tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng mk ≥ d sao cho

xmk k = n+1 X j=1 bjk(x0, ..., xn)Qij(x0, ..., xn),

trong â bjk, 1 ≤ j ≤ n+ 1, 0≤ k ≤ n, l c¡c d¤ng thu¦n nh§t vîi h» sè trong C câ bªc mk −d t÷ìng ùng. Nh÷ vªy

|fk(z)|mk ≤ c1kf(z)kmk−dmax|Qi1 ◦f(z)|, ...,Qin+1 ◦f(z) ,

(2.2) trong â kf(z)k := max{|f0(z)|, ...,|fn(z)|}, c1 l h¬ng sè d÷ìng ch¿ phö thuëc v o c¡c h» sè cõa bjk,1 ≤j ≤ n+ 1, 0≤ k ≤n, tùc l ch¿ phö thuëc v o c¡c h» sè cõa Qj, 1 ≤ j ≤n+ 1.

Chó þ r¬ng, (2.2) óng vîi måi k = 0, ..., n. Nh÷ vªy

kf(z)kmk = max

k=0,...,n|f(z)|mk

≤ c1kf(z)kmk−dmax|Qi1 ◦f(z)|, ...,Qin+1 ◦f(z) ,

i·u n y k²o theo

Nh÷ vªy, theo ành ngh¾a h m x§p x¿ ta suy ra

q X j=1 m(r, Qj, f) = q Y j=1 log kf(z)kdr Qij ◦f(z) r ≤ max {i1,...,in} n Y k=1 log kf(z)kd |Qik ◦f(z)| ! + (q −n) logc1,

trong â c1 l h¬ng sè d÷ìng ch¿ phö thuëc v o c¡c h» sè cõa bjk,1≤

j ≤ n+ 1, 0 ≤ k ≤ n, tùc l ch¿ phö thuëc v o c¡c h» sè cõa Qj,

1 ≤j ≤ n+ 1.

Tø â, ta câ i·u c¦n chùng minh.

Gi£ sû N sè nguy¶n d÷ìng n o â. Ta s³ x¥y düng mët cì sð th½ch hñp ψ1, ..., ψM cõa VN nh÷ sau, trong â M := dimVN. Ta bt ¦u vîi mët khæng gian kh¡c h¬ng ¦u ti¶n W(i0

) v l§y mët cì sð b§t ký cõa nâ. Ta ti¸p töc x¥y düng b¬ng quy n¤p nh÷ sau: gi£ sû (i0) > (i)

l hai n bë li¶n ti¸p sao cho dσ(i), dσ(i0

) ≤ N v gi£ sû r¬ng ta ¢ chån ÷ñc mët cì sð cõa W(i0). Tø ành ngh¾a ta câ thº l§y ÷ñc biºu di¹n trong W(i) cõa c¡c ph¦n tû trong khæng gian th÷ìng W(i)/W(i0) câ d¤ng ri1

1 ...rin

nη, trong â η ∈ VN−dσ(i). Ta mð rëng cì sð ¢ ÷ñc x¥y düng tr÷îc trong W(i0) b¬ng c¡ch th¶m v o c¡c biºu di¹n â v ta s³ thu ÷ñc cì sð cho c¡c khæng gian W(i) v qu¡ tr¼nh quy n¤p

÷ñc ti¸p töc cho ¸n khi W(i) = VN, khi â ta døng l¤i. B¬ng c¡ch nh÷ vªy, ta s³ thu ÷ñc mët cì sð ψ1, ..., ψM cõa VN.

2.2.11 Bê ·. Vîi gi£ thi¸t trong ành lþ 2.2.9. Khi â qd− M N θ T(r, f) ≤ q X j=1 N(r, Qj, f)− 1 θNW(r,0) +o(T(r, f)).

Chùng minh. Gi£ sû φ1, ..., φM l mët cì sð cè ành cõa VN. Khi â ψ1, ..., ψM câ thº biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng tê hñp tuy¸n t½nh

L1, ..., LM cõa c¡c φ1, ..., φM, nh÷ vªy ψt(f) = Lt(F), trong â F = (φ1(f) : ...: φM(f)) : C→ PM−1(C). C¡c d¤ng tuy¸n t½nh L1, ..., LM

l ëc lªp tuy¸n t½nh v bi¸t r¬ng theo gi£ thi¸t, f khæng suy bi¸n ¤i sè n¶n F khæng suy bi¸n tuy¸n t½nh.

Vîi z ∈ C, ta ÷îc l÷ñng log M Y t=1 |Lt(F)(z)| = log M Y t=1 |ψt(f)(z)|. Gåi

ψ l mët ph¦n tû trong cì sð, ÷ñc x¥y düng tø c¡c ph¦n tû trong cì sð cõa W(i)/W(i0), khi â ψ = ri1

1 ...rninη, trong â η ∈ VN−dσ(i). Nh÷ vªy ta câ mët ch°n

|ψ(f)(z)| ≤ |r1(f)(z)|i1...|rn(f)(z)|in |η(f)(z)|

≤ c2|r1(f)(z)|i1...|rn(f)(z)|in kf(z)kN−dσ(i),

thuëc v o f v z v câ óng δ(i) h m ψ nh÷ th¸. Nh÷ vªy

trong â c3 l mët h¬ng sè d÷ìng ch¿ phö thuëc v o ψ, khæng phö thuëc f v z. K²o theo,

trong â têng tr¶n ÷ñc l§y tr¶n t§t c£ n bë vîi σ(i) ≤ N/d. Vîi méi sè j ð tr¶n th¼ θ khæng phö thuëc v o j. N¶n (2.3) trð th nh log M Y t=1 |Lt(F)(z)| ≤ −θlog n Y j=1 kf(z)kd |rj(f)(z)| +M N logkf(z)k+M c3.

i·u â k²o theo log n Y j=1 kf(z)kd |rj(f)(z)| ≤ 1 θ log M Y t=1 kF(z)k |Lt(F)(z)| − M θ logkF(z)k + M N θ logkf(z)k+ M c3 θ . (2.4)

Do câ mët sè húu h¤n c¡ch chån r1, ..., rn ∈ {Q1, ..., Qq} n¶n ta câ mët hå húu h¤n c¡c d¤ng tuy¸n t½nh L1, ..., Lu. Tø (2.4) ta câ

max {i1,...,in}log n Y k=1 kf(z)kdr |gik(f)(z)|r ≤ 1 θmaxK log Y j∈K kF(z)kr |Lj(F)(z)|r− − M θ T(r, F) + M N θ T(r, f) +c4, trong â max

K ÷ñc l§y tr¶n t§t c£ c¡c tªp con K cõa 1, ..., u sao cho c¡c d¤ng Lj, j ∈ K l ëc lªp tuy¸n t½nh, c4 l mët h¬ng sè d÷ìng khæng phö thuëc v o r, ¡p döng ành lþ 2.2.7 cho ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh

F : C → PM−1(C) v c¡c d¤ng tuy¸n t½nh L1, ..., Lu v k¸t hñp vîi (2.3) ta câ q X i=1 m(r, Qi, f) ≤ max {i1,...,in}log n Y k=1 kf(z)kdr |rik(f)(z)|r + (q −c) logc1 ≤ −1 θNW(r,0) +